Turunan Fungsi dalam Kalkulus

Turunan fungsi (diferensial) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f’ yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton (1642 – 1727). Turunan (diferensial) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika.

Aturan menentukan turunan fungsi
Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers.
Turunan dasar
Aturan – aturan dalam turunan fungsi adalah :

1. f(x), maka f'(x) = 0
2. Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1
3. Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}
4. Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)
5. Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

Turunan jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi kedua fungsi
Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1. ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)
2. ( f – g )’ (x) = f’ (x) – g’ (x)
3. (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)
4. ((f)/g )’ (x) = (g(x) f’ (x)- f(x) g’ (x))/((g(x)²)

Turunan fungsi trigonometri

1. d/dx ( sin x ) = cos x
2. d/dx ( cos x ) = – sin x
3. d/dx ( tan x ) = sec² x
4. d/dx ( cot x ) = – csc² x
5. d/dx ( sec x ) = sec x tan x
6. d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

Turunan fungsi invers
(f^-1)(y) = 1/(f’ (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy)
Contoh soal :

1. .Diketahui  f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x³ + 2x² + 6x + 12,tentukan nilai f’(x) adalah….

Penyelesaian :
              f(x) = 5x³ +2x² + 6x + 12
              f’(x) = 15x²+ 4x +6
              f’(3) = 15 . 3²  +4 . 3 + 6
                      = 135 + 12 + 6
                      = 153

1.  Turunan pertama dari f(x) = sin³(3x² – 2) adalah f‘(x) = …

Penyelesaian:
               f(x) = sin³(3x² – 2)
              f’(x) = sin^(3-1)(3x² – 2).3.6x.cos (3x² – 2)
                        = 18x sin²(3x² – 2) cos (3x² – 2)